Matlab 教材：Matlab 認得複數

Matlab 甚至超越了一般工程型計算器該有的基本功能， 以後我們會看到更多超越的功能，現在先看一個：複數。

譬如我們要 Matlab 計算

sqrt(-1)
而以為他不會，但是他回答 0 + 1.0000i 好厲害，他會耶。 如果讀者看不懂，那就是您的數學基礎還不夠，請跳過這一節。

Matlab 能夠在計算中自動產生複數，使用者也可以直接輸入複數。譬如

1 + 2i
注意，上面的 2 與 i 之間，可以不寫一個 * 號， 寫了也可以。Matlab 的所有運算符號、所有函式，都懂得如何做複數計算。 例如
(1+2i) - (1-2i)
或者
3* (1+2i)
而此刻 abs( ) 計算的是複數的「長度」，例如
abs(3+4i)
根據畢氏定理，我們知道答案的確是 5。

複數的平方根是由「比較係數」法求得， 例如要找 1+2i 的平方根，就計算 (a + bi)2 = 1+2i 然後比較係數得到聯立方程式

a2 - b2 = 1
2ab = 2
Matlab 可以代勞，只要說
sqrt(1+2i)
就行了。

最後，我們談談

(-1)^(1/3)
這是 -1 開三次方根的意思，我們一般會認為答案是 -1，但是 Matlab 說是 0.5000 + 0.8660i。稍加檢查，發現這個數是
\begin{displaymath} \frac12 + \frac{\sqrt3}2 i \end{displaymath}

它也就是複數平面單位圓上角度為 60 度的點。 而 -1 的三次方根其實是 x3 = -1 的根， 我們知道三次多項式在複數中必有三個根 (其中一個實根，兩個共軛複根)， -1 只是其中一個根，而 Matlab 計算出來的另是一個複根。

讀者如果學習了夠多的數學，將會知道，其實 Matlab 計算出來的根， 才是「數學上喜歡的」一個根。

習題

  1. 試試看 (1/2 + sqrt(3)/2*i)^2 答案如何？請解釋是否合理？
  2. 試試看 (1/2 + sqrt(3)/2*i)^3 答案如何？請解釋是否合理？
  3. 試試看 (1/2 + sqrt(3)/2*i)^4 答案如何？請解釋是否合理？
  4. 試試看計算 (1/2 + sqrt(3)/2*i)^n ，讓 n 代入 1, 2, 3, 4, ..., 10，請問觀察到什麼現象？能解釋嗎？(教您一個撇步，可以按向上的箭頭， 得到上一步的指令，然後用 [Backspace] 鍵修改次方的數，然後再按 [Enter]， 就可以很方便地做實驗了。)
  5. 檢查 (-8)^(1/3) 是 (-1)^(1/3) 的幾倍？ 能解釋嗎？
  6. 實驗 abs((-1)^(1/3)) 、 abs((-8)^(1/3)) 、 abs((-27)^(1/3)) 、 觀察到什麼現象？能解釋嗎？
[BCC16-B]
單維彰 (03/03/06) ---
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