Maxima 教材：微分

所謂微分，就是求導數或導函數之技術的統稱。 Maxima 可以算出一個函數的導函數（一階或高階的）， 只要在導函數中代入數值，就知道導數了。 以

                              2         2400
                      f(x) = x  - 3 x + ---- + 12
                                         x
為例，以下指令獲得它的（一階）導函數：
diff(x^2-3*x+2400/x+12, x);
結果是
                                      2400
(%o7)                           2 x - ---- - 3
                                        2
                                       x
注意上式中的分母是 x2。 將此式代入 x=-6，就是 f'(-6) 的值，也就是 f(x) 在 -6 的導數。 利用指定輸出編號的手法，指令可以這樣寫：
subst(-6, x, %o7);
注意，輸出編號 7 只是一個例子，實際狀況要看當時的 Maxima 輸出而決定。 得到的回應是
                                       245
(%o8)                                - ---
                                        3
如果不喜歡看到分數，想要得到小數，可以說
float(%o8);
而得到 -81.66....。

我們可以將導函數再微分得到二階導函數，但是也可以直接在 diff 指令中獲得二階或任意高階的導函數。例如

diff(x^2-3*x+2400/x+12, x, 2);
得到 f''(x) 就是
                                  4800
                                   ---- + 2
                                     3
                                    x

diff 指令中的第一個參數（逗點前面的符號）表示被微分的式子， 第二個參數（逗點後面的符號）表示做微分的變數。 所以，如果被微分的變數是 t 而不是 x，則第二個參數應該寫 t 而不是 x。以

                                       2
                                s(t) = -
                                       t
為例，s'(t) 和 s''(t) 應分別使用下列指令：
diff(2/t, t);
diff(2/t, t, 2);

習題

  1. 令 f(x) 如上所述，試求 f''(1/2) 的值。
  2. 試計算 g(t)=t3-12t 的一階和二階導函數。
  3. 試計算 p(x)=x4 + x3 + x2 + x + 1 的一階、二階、三階、四階、五階導函數。 試猜想，若 n 是一個正整數，則 xn 的 n 階導函數是什麼？ n+1 階導函數是什麼？
  4. 試計算 r(x)=1/x 的一階、二階、三階、四階、五階導函數。 試猜想，若 n 是一個正整數，則 r(x) 的 n 階導函數是什麼？
[BCC16-B]
單維彰 (2012/09/06) ---
[Prev] [Next] [Up]