Maxima 教材：多項式的四則運算

多項式的加減運算就只是同類項合併而已，Maxima「自然」就會做。 例如

(x^3+x^2-x-1)+(x^3/3-3*x^2+3*x-1/2);
便得到
                             3
                          4 x       2         3
                          ---- - 2 x  + 2 x - -
                           3                  2

至於多項式的乘法，Maxima 也許會因為想要維持多項式的「最簡」表達式而不予處理。 例如

(x-1)*(x+1);
就只得到
         (x - 1) (x + 1)
不要怪罪於電腦軟體，它並不知道你的意圖是「乘開來」。 只要用指令 expand 叫它展開相乘的多項式就行了：
expand((x-1)*(x+1));
就會得到如願的結果
                                   2
                                  x  - 1

多項式的除法，就像正整數的除法，應該會得到商式和餘式。 其指令是 divide，例如 (x3-1)÷(x+1) 的除法就寫

divide(x^3-1, x+1);
得到兩項回應
                              2
                            [x  - x + 1, - 2]
意思是說 (x3-1)÷(x+1) 的商是 x2-x+1，餘是 -2。

事實上，divide 指令也可以用來做正整數的除法，例如

divide(100,7);
得到 100÷7 的商 14 和餘數 2。

我們都知道，當餘式是 0 的時候，稱為整除，而除式就是被除式的一個「因式」。 例如 (x3-1)÷(x-1) 就應該是整除。 而整除的情況也就是「因式分解」：將一個多項式「分解」成除式與商式的乘積。 這種運算，可以用 factor 達成。例如

factor(x^3-1);
得到兩個因式
                                     2
                           (x - 1) (x  + x + 1)
而讀者可能已經猜到了，其實 factor 可以用來做正整數的質因數分解，例如
factor(209);
得到兩個因數
          11 19
但是
factor(109);
就只得到同一個數 109，即表示 109 本身是質數。

習題

  1. 試做多項式 x4-1 的因式分解。
  2. 試做 (x3/7-12x+19)÷(x/2+1) 的除法。
[BCC16-B]
單維彰 (2012/06/26) ---
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