托勒密計算正弦函數表的方法

托勒密 (Ptolemy, 100--178) 是希臘文明末期的天文學家， 他的宇宙觀大約主宰了西方人 1500 年的看法。 雖然與今天所知的事實不相符，但是他的觀察和假說， 在當時的確可以解釋所有的天文現象，並能用以預測星體的運行。 為了天文學的研究，托勒密需要三角函數來做計算。 當時並不存在足夠精密的三角函數值，於是他自己計算了一張三角函數的數值表格。 嚴格地說，他是計算了從 0 度開始，以 1/2 度為間隔，到 180 度為止的弦長表： Crd(x)：x 度的弦長。 它就是單位圓 (半徑為 1 的圓) 之 x 度圓心角所對應的弦長。 見下圖

在我們開始之前，要特別提醒讀者，當時托勒密使用的是 60 進位的非對位記數系統。 他不但沒有小數的觀念，更沒有直式計算法。 而所有的三角函數公式推導，全部要用純粹的平面幾何知識。

首先，利用圓的內接正多邊形的邊長，可以知道某些特殊角的弦長。 例如邊數是 3、4、5、6、10 的時候，得知 120 度、90 度、72 度、60 度和 36 度的弦長。 其他的角度，就不容易由這種方法求得了。 完全用幾何知識，托勒密發現了一些我們今天熟知的和 (差) 公式與半角公式：

就這樣千辛萬苦地，托勒密估計了 Crd(1/2) 的值。 因為他沒有小數點可用，就令圓的半徑是 60 (他用的數是 60 進位的)， 使得計算的結果是 60*Crd(x)，然後取整數和近似的分數。 可見，即使這樣辛苦地計算，到頭來的相對數值誤差還是頗高。

這份擴編教材只是要讓讀者體驗先民的創造性工作、欣賞他們所突破的困難， 並瞭解在微積分之前，要製造更精確的三角函數表的困難程度。 我們無意在此重現完整的數學 (特別是平面幾何) 推理過程。 欲知詳情，請看課外讀物。

課外讀物：
[1] 蔡聰明，星空燦爛的數學---托勒密如何編製弦表，數學傳播 90(1999)，57--67。