關於資料庫的集合論簡介

即便我這裡說的只是「簡介」，還是覺得言過其實。 以下所能介紹的，頂多只是一些集合論當中的基本名詞解釋而已。 希望對於入門的人有點用處，欲自修為專業水準者， 勢必還需要進一步的學習。

隨便有兩個物件，命名為 $x$ 和 $y$，則將它們按照順序排列， 就形成一個\em{序列} (ordered list)，記做 $(x,y)$。 $(x,y)$ 與 $(y,x)$ 是不同的， 就好像坐標平面上 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 兩個序列代表兩個不同的向量一樣。 如果 $(x,y)$ 和 $(u,v)$ 是兩個序列，則必須 $x=u$ 而且 $y=v$， 我們才說這兩個序列相等，記做 $(x,y)=(u,v)$。 這個概念很容易推廣到 $n$ 個元素的序列。 若 ${\bf x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 和 ${\bf u}=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ 是兩個 $n$ 元素序列， 則必須 $x_1=u_1$ 且 $x_2=u_2$ 且 $\cdots$ 且 $x_n=u_n$ 我們才說這兩個序列相等， 簡記做 ${\bf x}={\bf u}$。 而且，序列所成的序列還是序列。 例如若 ${\bf r}=(r_1, r_2, r_3)$ 和 \hbox{${\bf s}=(s_1, s_2)$，} 則 $({\bf r}, {\bf s})$ 就定義成一個 5 元素的序列，也就是 $(r_1, r_2, r_3, s_1, s_2)$。

如果有三個物件，隨便稱之為 $a_1$ $a_2$ $a_3$， 在概念上把它們歸成一類，也就形成了一個集合。 隨便稱這個集合為 $A$，則可以記做 $A=\{a_1, a_2, a_3\}$。 我們說 $a_2$ 是 $A$ 的一個元素 (element)，記做 $a_2\in A$； 而 $A$ 有三個元素，記做 \hbox{$|A| = 3$。} 如果有另一個集合 $B=\{b_1, b_2\}$， 則 $A$ 與 $B$ 的\em{直積} (Cartesian product，直譯為笛卡兒乘積) 是以 $A$ 的元素放第一位、$B$ 的元素放第二位所造成的序列集合，記做 $$ A\times B = \{(a_1,b_1),\,(a_1,b_2),\,(a_2,b_1),\,(a_2,b_2),\, (a_3,b_1),\,(a_3,b_2)\} $$ 很明顯地，$|A\times B| = |A|\cdot|B|=6$。 根據前面我們對序列的認識，那麼如果又有一個集合 $C = \{c_1, c_2, c_3\}$，則 $$ \eqalign{ &A\times B \times C = (A\times B)\times C = \{ (a_1,b_1,c_1),\,(a_1,b_1,c_2),\,(a_1,b_1,c_3), \cr &\quad (a_1,b_2,c_1),\,(a_1,b_2,c_2),\,(a_1,b_2,c_3),\, (a_2,b_1,c_1),\,(a_2,b_1,c_2),\,(a_2,b_1,c_3), \cr &\quad (a_2,b_2,c_2),\,(a_2,b_2,c_2),\,(a_2,b_2,c_3),\, (a_3,b_1,c_1),\,(a_3,b_1,c_2),\,(a_3,b_1,c_3), \cr &\quad (a_3,b_2,c_1),\,(a_3,b_2,c_2),\,(a_3,b_2,c_3) \} }$$ 而且 $|A\times B\times C| = |A|\cdot|B|\cdot|C| = 18$。 依此類推，讀者應該知道任意 $n$ 個集合的直積是什麼東西了。

若 $T$ 和 $S$ 是兩個表格，則 $T$ 和 $S$ 的接合就是 $T\times S$。