Matlab 教材：複數、矩陣與轉置

若 A 是一個實係數矩陣，則 A' 就是它的轉置 (transpose)。 但是如果 A 裡面有複數元素，則 A' 就相當於 Hermitian： 轉置矩陣，並將每個元素取共軛複數 (所以實數部份沒有影響)。 這也包含向量或序列的狀況，例如 x 是一個三維向量 (直的)， 則 x' 就是 x 的 Hermitian，成為一個三維序列 (橫的)， 而且每個元素取其共軛複數。 如果 c 就是一個複數，那麼 c' 就是 c 的共軛複數。

譬如說 c=3，則 c' 就還是 3。 但是如果 c=complex(1,3)，也就是 1+3i， 那 c' 就成了 1-3i。 因此，c*c' 不是 c² 的意思，而是 |c|²。 當然，如果 c 是個實數，那 c² 和 |c|² 是一樣的意思； 不過我們要留意，萬一 c 是複數，那就不同了。

令 x=[x₁, x₂, x₃] 是一個序列， 則根據上述解釋，x*x' 就是

|x₁|² + |x₂|² + |x₃|²

sqrt(x * x')

如果只要做轉置而不要取共軛複數，可以說 A.' 或者 x.'， 注意那個「點」，這是 Matlab 的「點指令」之一，以後還會再多介紹一些。 當然囉，如果 c 是個純量、不管是實數還是複數，那 c.' 就是 c 它自己， 這個指令用在純量上沒什麼意義。

如果您不喜歡、或是不方便用 ' 算子來做 Hermitian， 可以改用函式 ctranspose()。 例如 ctranspose(A) 的效果和 A' 是一樣的。 同樣地，如果您不喜歡、或是不方便用 .' 算子來做轉置， 可以改用函式 transpose()。 例如 transpose(A) 的效果和 A.' 是一樣的。 要注意，transpose() 就如其名： 它真的只有做轉置，沒有取共軛複數。

習題

1. 令 x=[1, sqrt(2), 3, exp(4), 5] 和 y=[4, 3, 2, sqrt(2), exp(1)]，計算 x 和 y 的內積。
2. 令 x=[1, -2, 3, complex(1,-1), 5] 和 y=[4, complex(0,3), 2, complex(1,-1), 1]，計算 x 和 y 的內積。
3. 令 x=[1, sqrt(-2), 3, complex(1,-1), -2] 計算 x 和它自己的內積。
4. 令 x=[1, sqrt(2), 3, exp(4), 5] 計算 x 和它自己的內積。