Matlab 教材：基本列運算

讓我們用三個所謂的「基本列運算」(elementary row operations) 來結束這一篇教材。 所謂基本列運算就是

1. 矩陣的兩列交換。例如交換第一列和第三列

   tmp = A(1,:);
   A(1,:) = A(3,:);
   A(3,:) = tmp

2. 矩陣的某一列乘上一個常數。例如將第一列乘上 -2

   A(1,:) = (-2)*A(1,:)

3. 矩陣的第 i 列，加上某常數乘上第 j 列，然後置換掉第 i 列。例如將第一列乘上 -2， 加去第二列並且置換它

   A(2,:) = A(2,:) + (-2)*A(1,:)

例如，考慮以下線性聯立方程式

B = [4  6 -1  1
     5 -8  3  0
     1  4  1  0]

1. 在 B(:,1) 觀察絕對值最大元素，是 b₂₁， 故決定交換第一列和第二列

   tmp = B(1,:); B(1,:)=B(2,:); B(2,:)=tmp;

   交換後的 B 矩陣是

        5    -8     3     0
        4     6    -1     1
        1     4     1     0
   

2. 將第一列乘上 -4/5 加去第二列

   B(2,:) = B(2,:) - 4*B(1,:)/5;

   得到

       5.0000   -8.0000    3.0000         0
            0   12.4000   -3.4000    1.0000
       1.0000    4.0000    1.0000         0
   

3. 將第一列乘上 -1/5 加去第三列

   B(3,:) = B(3,:) - B(1,:)/5;

   得到新的 B 矩陣

       5.0000   -8.0000    3.0000         0
            0   12.4000   -3.4000    1.0000
            0    5.6000    0.4000         0
   

4. 觀察 B(2:end,2) 之絕對最大值，發現是 b₂₂ 故不需交換。
5. 將第二列乘上 -b₃₂/₂₂ 加去第三列

   B(3,:) = B(3,:) - B(3,2)*B(2,:)/B(2,2);

   得到

       5.0000   -8.0000    3.0000         0
            0   12.4000   -3.4000    1.0000
            0         0    1.9355   -0.4516
   

6. 以上就是對 B 做「列交換高斯消去法」的結果。 以下根據上述結果求解 x₁, x₂, x₃.
7. 則 x₃ = b₃₄/b₃₃

   x(3) = B(3,4)/B(3,3)

   得到 -0.2333
8. 代入前一列，得到 x₂ = (b₂₄ - b₂₃*x₃)/b₂₂

   x(2) = (B(2,4) - B(2,3)*x(3))/B(2,2)

   得到 0.0167
9. 再代入前一列，得到 x₁ = (b₁₄ - b₁₂*x₂ - b₁₃*x₃)/b₁₁

   x(1) = (B(1,4) - B(1,2)*x(2) - B(1,3)*x(3))/B(1,1)

   得到 0.1667

習題

1. 令 B=[7 5 5 3; 6 7 1 7; 4 1 4 1]，對 B 做「列交換高斯消去法」。
2. 令 B=[17 11 7 1; 11 8 4 2; 7 4 3 3]，對 B 做「列交換高斯消去法」。
3. 令 B=[2 1 0 0 1; 1 2 1 0 1; 0 1 2 1 1; 0 0 1 2 1]， 對 B 做「列交換高斯消去法」。