BCC-16 (in Chinese) 計算機概論十六講 Matlab -- Trigonometric functions

Matlab 教材：Matlab 是一個工程型計算器---三角與反三角函數

Matlab 其實具備一般工程型計算器該有的基本功能，這包括任意計算次方、指數與對數函數、三角與反三角函數、雙曲與反雙曲函數。這裡我們介紹三角與反三角函數。

六個三角函數在 Matlab 中對應的函式是

正弦 sin( ) 餘弦 cos( )
正切 tan( ) 餘切 cot( )
正割 sec( ) 餘割 csc( )

它們的用法並無特殊，就跟 exp( ) 和 sqrt( ) 這些函式一樣。就如大部分的工程型計算器，三角函數的運算元乃是以弧度來度量，而不是角度。所以

正弦	sin( )	餘弦	cos( )
正切	tan( )	餘切	cot( )
正割	sec( )	餘割	csc( )

sin(0)

是 0，而

sin(3.1416)

是 -7.3464e-06，那幾乎是 0，因為 3.1416 幾乎是圓周率。讀者亦可實驗

cos(3.1416)

看到答案幾乎是 -1。Matlab 並不提供角度量的三角函數，使用者必須自行轉換。

Matlab 提供一個函式 (而非常數)，用來計算圓周率的值。它就叫做 pi。雖然您下指令

pi

仍然得到 3.1416 但是它在機器內部是一個更準確的值，因此

sin(pi)

得到 1.2246e-16，更幾乎是正確答案 0 了，而它之所以不是零，又是「數值計算無可避免的誤差」在作怪。不過

cos(pi)

真的是 -1，而

sin(pi/2)

真的是 1。

六個反三角函數在 Matlab 中對應的函式是

反正弦 asin( ) 反餘弦 acos( )
反正切 atan( )
atan2( ) 反餘切 acot( )
反正割 asec( ) 反餘割 acsc( )

它們的用法並無特殊，就跟 log( ) 和 sqrt( ) 這些函式一樣。也和 log( ) 或 sqrt( ) 一樣，在正常的定義域內， Matlab 會計算如預期的實數答案，而且答案在一般熟知的值域之內。例如當輸入值介於 -1 與 1 之間時，asin( ) 算出介於 -pi/2 與 pi/2 之間的答案。但是如果輸入值超出這個範圍，Matlab 的 asin( ) 會算出複數。這是一般熟悉之反三角函數的推廣，可能超出許多讀者的數學知識範圍，您只要知道 Matlab 沒做錯，就行了。

反正弦	asin( )	反餘弦	acos( )
反正切	atan( ) atan2( )	反餘切	acot( )
反正割	asec( )	反餘割	acsc( )

例如

asin(1)

得到 pi/2 而

acos(sqrt(3)/2)

得到 0.5236，也就幾乎是 pi/6，都是可預期的。讀者亦可實驗

asin(2)

看看結果。

反正切函式有兩種，這符合工程師的工作習慣。一種是 atan( ) 就如大部分數學課本上所述，它取值任意實數，而計算出來的結果介於 -pi/2 與 pi/2 之間。

atan(1)

得到近似 pi/4 的結果，而

atan(-10000)

得到近似 -pi/2 的結果。

另一種反正切函式是 atan2( )，它需要兩個輸入值。若輸入 atan2(y,x) 則 Matlab 計算平面上 (x,y) 點與原點所連之線段和 x 軸的夾角，或者說是 x + yi 這個複數與實軸的夾角，此夾角以 -pi 到 pi 之間測量。例如

atan2(1, 1)

得到 pi/4，而

atan2(-1, 1)

因為 (-1,1) 在第四象限所以得到 -pi/4，但

atan2(-1, -1)

在第三象限而得到 -(3/4)*pi。

習題

試試看 pi/2 - atan(Inf) 答案如何？能解釋嗎？
試試看 pi/2 + atan(-Inf) 答案如何？能解釋嗎？
試試看 atan2(1,0) 答案如何？能解釋嗎？


	單維彰 (03/03/06) ---