Matlab 教材：善用 Matlab 函式

小時候，我們可能都做過「從一加到一百」這種問題，也就是

1 + 2 + 3 + ... + 100
許多讀者可能聽說過，數學王子高斯 (Carl Gauss) 在幼童時代， 就自己發明了計算上述問題的公式。不論如何，大家都應該知道，答案是 5050。 如果要寫個程式來計算呢？如果讀者以前學過類似 C, FORTRAN, Pascal, BASIC 這些程式語言，可能立刻就想到：使用迴圈。 但是，應用 Matlab 的訣竅，就在於將問題以矩陣（包括向量、序列）形式來思考， 一次處理一個矩陣，而不是將矩陣中的元素拿出來一一處理。 這就是基本的 物件導向 的思惟方式。 以後，讀者或許會逐漸體會，所謂「物件導向」這個時髦的名詞， 也不過就是要我們以「數學的函數觀念來思考」。

如何應用 Matlab 執行上述計算呢？ 在想法上，我們可以先產生一個元素為 1, 2, 3, ..., 100 的向量（或序列）， 然後代入 sum( ) 函式求此向量的元素和。 利用冒號指令，便可以輕易產生上述向量。因此，以下是一種做法：

v = 1:100;
sum(v);
其實，何必經過一個變數 v 來計算呢？何不說
sum(1:100)

因此，<= 100 的偶數和就是

sum(2:2:100)
讀者當然知道，這個答案和
2 * sum(1:50)
是一樣的。

利用點運算，我們還可以輕易計算從一到一百的立方和：

1 + 23 + 33 + ... + 1003
做法是
v = (1:100).^3;
sum(v)
或者，將兩句話合成一句：
sum((1:100).^3)

同理，我們還可以計算從一到一百的倒數和：

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100
做法是
sum(1 ./ (1:100))

再考慮一個簡單的問題：

1 - 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100
這個無聊的問題，答案明顯是 -50。 我們利用它來練習一個操作技巧：產生 1, -2, 3, -4, ..., 99, -100 這樣的向量。 首先，利用 .^ 指令，我們可以製造
pm = (-1) .^ (0:99);
它的效果就是產生
pm = [1   -1   1   -1   1   -1   ...   1   -1]
然後，只要說
v = (1:100) .* pm;
sum(v)
就好了。注意，前面我們說 (-ones(1,100)) 這是因為如果不把負號刮起來， Matlab 會先算 .^ 然後才取負號。那不是我們想要的結果。

其實，上述操作純粹只是技術上的示範。 對於解決問題，根本不必這麼麻煩，何不說

sum(1:2:100) - sum(2:2:100)
就好了？同理，計算
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100
也就可以說
sum(1 ./ (1:2:100)) - sum(1 ./ (2:2:100))

連加可以用 sum( ) 達成，那麼連乘也就可以用 prod( ) 達成。 例如 3! = 1*2*3 可以這樣算：

prod(1:3)
一般而言，若 n 是一個正整數，則 prod(1:n) 就計算了 n!。 但是，因為階乘是個增大很快的數， 而 Matlab 最多只能計算（十進制）16 位數的科學記號數字， 所以，它無法正確計算太大的階乘。例如
prod(1:12)
還可以得到完整的答案 479001600，但是
prod(1:13)
就沒辦法了，Matlab 自動改成科學記號輸出 6.2270e+09

習題

  1. 計算從一到一百的倒數平方和。亦即
    1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(100^2)
  2. 計算從一到一百的倒數平方和。亦即
    1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(100^2)
    但是，請不要用 .* 或 .^ 指令，改用內積函式 dot( ) 來完成任務。
  3. 計算以下連加：
    1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/97 - 1/99
  4. 令 n=10000，計算
    4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... - 1/(4*n-1))
[BCC16-B]
單維彰 (2001/10/10) --- 03/04/10 (單)
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