製造特殊矩陣--亂陣與魔方陣

Matlab 內建一個「亂數產生器」 (random number generator)。 所謂亂數，簡單地說，就是一批看似沒有關係、亂七八糟的數。 但是，電腦中的亂數其實都由程式語言計算出來，所以其實都是有規則的。 因此，它們其實不是真的沒有關係，只是表面上看起來亂七八糟而已。 為了這個原因，有些人稱電腦產生的亂數為「擬亂數」或「假亂數」 (pseudo random numbers)。 如果要「隨便」找一個矩陣或向量來做計算的實驗， 我們便需要亂數矩陣。

Matlab 的 rand( ) 函式會呼叫其內建的亂數產生器來製造亂數矩陣。 例如

rand(2)

rand(1,3), rand(3,1), rand(2,3)

再一個有趣的函式會造出魔方陣來。 所謂魔方陣就是 n 乘 n 的方陣， n > 2， 方陣內的元素是 1, 2, 3, ..., n² 這些整數各出現恰好一次， 使得每一行，每一列，對角線的元素和都一樣。 例如

magic(3)

注意，Matlab 的函式都像函數一樣，可以一個套一個，組成合成函數。 例如

det(magic(3))

rank(rand(4))

習題

1. 做一些實驗，回答以下問題。隨便舉出一個方陣，其為可逆方陣的機率比較大、 還是不可逆的機率比較大？ 更進一步，您估計「隨便」找一個方陣，它是不可逆方陣的機率是多少？
2. 做一些實驗，回答以下問題。 令 A 和 B 是維度相同的兩個方陣。請問 A*B 和 B*A 是否相等？
3. 如何「隨便」製造一個複數矩陣？
4. 做一些實驗，回答以下問題。 令 A 是一個複數方陣，B = A'*A (B = A^HA)。 請觀察 B 的主對角線元素，您能夠提出什麼理論？ 您能不能證明這個理論？
5. 計算 n 階魔方陣的行列式，n=3, 4, 5,..., 16
6. 做一些實驗，回答以下問題。 魔方陣是否全都是可逆矩陣？或者其逆矩陣有何性質？