BCC-16 (in Chinese) 計算機概論十六講 Matlab -- Change Base

Matlab 教材：無號整數的進制轉換

正如我們在第 0 講學過的，指定一個底數 K (K 是大於一的整數)，任何正整數在以 K 為底的對位記數法之下，有唯一的一種表達方式。通常我們以十為底，計算機的內部以二為底，為了表達和紀錄的方便，我們經常將電腦內的資料以八或十六為底來呈現。

Matlab 提供一套函式幫助我們做無號整數的進制轉換。其實，嚴格說來，應該是做 0 到 2⁵³ 的整數進制轉換。為什麼會是 2⁵³ 這個奇怪的數？以後再跟您說明。

先看十進制轉換到十六進制的例子。用指令

dec2hex(3)

將十進制的 3 轉換成十六進制，答案還是 3。試試看

dec2hex(10)

得到答案 A，這就有趣了。而

dec2hex(108)

轉換成 6C。試試看更大的整數，譬如

T = 2^52 + 16 + 8 + 4; dec2hex(T)

轉換成 1000000000001C，這是一個十六進制的 14 位數，其中最後一位 C 就代表了 8+4 的部份，而倒數第二位 1 代表了 16。

Matlab 能夠正確處理的最大整數是 2⁵³，再大就不行了。試試看

dec2hex(2^53 - 1) dec2hex(2^53) dec2hex(2^53 + 1)

分別得到答案

1FFFFFFFFFFFFF 20000000000000 20000000000000

很明顯地，2⁵³-1 和 2⁵³ 之十六進制數字都是正確的，但 2⁵³+1 並不正確。

十進制數字轉換成二進制，可以直接利用 Matlab 函式 dec2bin，例如

dec2bin(3) dec2bin(10) dec2bin(108)

分別得到

11 1010 1101100

如果想要看到一定位數的二進制數字，譬如說八位數 (一個字元)，可以說

dec2bin(10, 8)

得到 00001010。再試試剛才的大數

dec2bin(T)

得到

10000000000000000000000000000000000000000000000011100

但是十進制數字轉換八進制、或者要轉換成不是二也不是十六的其他進位制度，就沒有專屬的函式可用。Matlab 提供了一般性的 dec2base() 函式。使用方法是

dec2base(x, b, n)

其中 x 是一個不大於 2⁵³ 的正整數， b 是作為基底的數，必須是從 2 到 36 之間的整數，如果 b 超過 10，則依序採用大寫英文字母 A,B,C,... 當作數目字。 n 可以不寫，如果寫了，代表固定用 b 進制的 n 位數來輸出答案。

利用 dec2base() 可以做十進制到八進制數字的轉換。例如

dec2base(10, 8, 3)

得到 012，而

dec2base(108, 8, 3)

得到 154。

最後要提醒您注意，dec2hex(), dec2bin() 和 dec2base() 這些函式的答案，都是「字串」而非數值。例如

s = dec2hex(108); ischar(s)

得到答案 1，也就是說 s 是一個由 '6' 和 'C' 兩個字元組成的字串，所以

double(s)

就得到那兩個字元的 ASCII 碼，也就是 54, 67。

dec2hex(), dec2bin() 和 dec2base() 分別有對應的反函式：hex2dec(), bin2dec() 和 base2dec()。但是要注意，這三個函式的輸入參數必須是字串，而非數值；它們的答案卻是整數數值，而非字串。例如

bin2dec('1101')

得到答案 13，

hex2dec('6C')

得到答案 108，

base2dec('154', 8)

也得到答案 108。

習題

請問，如果您要改寫 dec2base() 使得參數 b 可以超過 36，容許 b 最大可以是 62。您會遇到什麼困難？說說看，您可以如何克服這個困難。
請問，如果您要改寫 dec2base() 使得參數 b 可以超過 36，容許 b 最大可以是 100。您會遇到什麼困難？說說看，您可以如何克服這個困難。
請將十六進制數字 6C0A9B74FC 轉換成二進制數字。您可以用紙筆計算，但是最好叫 Matlab 來幫忙。
請將十六進制數字 6C0A9B74FC 轉換成八進制數字。您可以用紙筆計算，但是最好叫 Matlab 來幫忙。
請將二進制數字 10010011100110101111000110101110100 轉換成八進制數字。您可以用紙筆計算，但是最好叫 Matlab 來幫忙。
請將二進制數字 10010011100110101111000110101110100 轉換成十六進制數字。您可以用紙筆計算，但是最好叫 Matlab 來幫忙。


	單維彰 (2004/01/08) --- 04/05/12 (單)