動態系統的研究發現，某些看似低等的生物之所以能夠表現出令人驚訝的、 看似經過深思熟慮的行動或組織，其實只是遵循非常簡單的指令。 大量而重複地遵循非常簡單的動作，就能產生令人迷炫的複雜成果。 有很多以這個概念發展出來的科普讀物或科幻小說；以科普而言， 《混沌》和《複雜》都是暢銷的作品，都由天下文化翻譯出版； 以科幻而言，Michael Crichton 是個中高手， 他的成名作《侏儸紀公園》和續集《失落的世界》， 以及 2003 年的近作《奈米獵殺》都有應用動態系統於生物學的情節在內。
這種「寓複雜於簡單」的概念，早在 1904 年的『Koch 雪花』便出場了， 它的構成元素是：『拿一根線段，截去中央的三分之一， 用那個長度造成一個缺了底邊的正三角形，與原來的線段接在一起， 形成一個「中央凸起三分之一的折線段」』。 我們稱這個簡單的動作為「翹起中間三分之一」。 就是這麼一個簡單的規則，重複實施在每一節線段上，就會出現複雜的景象。
所謂的「翹起」有兩個方向，要正式寫程式時，必須指定一致的翹起方向。 下面的程式是，給定一個線段的起點和終點， 假設線段的方向是從起點指向終點，而翹起的方向則是線段方向的左側。 利用簡單的幾何和代數，只要給定起點和終點的座標， 就可以計算出來翹起的兩個底部端點座標和翹起的頂點座標。 因此，在電腦上實現所謂的「翹起」， 其實就是根據輸入的一個 (有方向性) 的線段，畫出四個線段。 例如給一個從 (0,0) 到 (1,0) 的線段，如左圖。 「翹起」之後，變成相連的四個線段，如右圖。
上述想法可以繼續做下去：一根線段「翹起」成四根線段； 每一根線段可以再「翹起」成四根線段，共 16 根； 而每一根線段可以再「翹起」成四根線段，共 64 根，依此類推。 只要把方向抓對，那麼可以控制每一個線段都是向「外」翹起， 如下面兩張圖。
所以，上述想法本身就是一種遞迴。用 Matlab 很容易寫出來， 因為 Matlab 本來就有測繪功能：給兩點，Matlab 可以畫出連線的線段。 這是 [製圖--折線圖] 和 [多重折線圖] 那兩節講解的功能。 我們寫一個 koch() 函式來實現這個想法。
koch() 應該取得三個參數，如
koch(p, q, n)其中 p 是起點的平面座標向量，例如 p=[0;0];， 而 q 是起點的平面座標向量，例如 q=[1;0];。 第三個參數 n 是一個無號整數 (0 或正整數)， 代表要「翹起」幾個回合； 所謂一個回合，是指將每一根線段都「翹起」一次。 前面那四張圖，就分別是 n 為 0, 1, 2 和 3 的效果。
koch() 的想法很巧妙： 如果指定的「回合」是 0，就用 plot() 函式把線段畫出來。 否則就把輸入的線段「翹起」成四根線段， 把每一根線段送去下一回合 koch() 去做 (把回合數減一)。 程式如下：
function koch(p,q,n)
if (n==0)
plot([p(1);q(1)], [p(2);q(2)], 'LineWidth',4,'Color','red');
hold on;
else
c = q-p;
c = [-c(2); c(1)];
c = (p+q)/2 + c/sqrt(12); % 求出「向左側翹起 1/3」的頂點座標向量 c
a = (2*p+q)/3; % 求出從 p 到 q 的 1/3 處端點座標向量 a
b = (p+2*q)/3; % 求出從 p 到 q 的 2/3 處端點座標向量 b
koch(p, a, n-1); % 對 pa 線段做下一回合
koch(a, c, n-1); % 對 ac 線段做下一回合
koch(c, b, n-1); % 對 cb 線段做下一回合
koch(b, q, n-1); % 對 bq 線段做下一回合
end使用 koch() 需注意的是，p 和 q 必須是向量。 譬如要說 p=[0;0]; 和 q=[1;0]; 而不是說 p=[0,0]; 和 q=[1,0];。 其實很容易改寫 koch() 來幫助使用者不受這個限制，留給讀者當習題。
koch() 會打開 Matlab 的圖形視窗，在裡面畫圖。 但是 koch() 執行之後的 hold 狀態是 on， 需自行將它關閉，以免以後畫的所有圖都疊在一起了。 此外，koch() 也沒有為我們處理座標邊框，因此圖形的比例不太對， 這也需要在 koch() 執行之後再處理。以下是一組例子。
p=[0;0]; q=[1;0]; koch(p,q,2) hold off axis([0 1 -0.2 0.8]) axis square axis off
習題
