Maxima 教材：泰勒多項式

Maxima 只要一個指令就能做多項式函數 f(x) 以 a 為參考點的泰勒形式。 對於一般函數，相對於「多項式的泰勒形式」，就稱為 泰勒多項式 或者 泰勒展開。 但是，在數學上，任意的函數未必存在泰勒多項式。 反正如果存在，Maxima 就會算出來，否則它就會出現錯誤訊息。

計算泰勒多項式的指令形式為 taylor(f, x, a, n)， 我們須輸入四個引數，其中 f 表示原本的函數，x 表示函數中的自變數符號， a 表示參考點，n 表示想要計算的泰勒多項式次數。 以 x³ + x² -x +1 為例， 以下指令做它以 1 為參考點的泰勒形式至二次項：

taylor(x^3+x^2-x+1, x, 1, 2);

                                              2
(%o20)                2 + 4 (x - 1) + 4 (x - 1)  + . . .

taylor(sqrt(x), x, 1, 3);

                                       2          3
                        x - 1   (x - 1)    (x - 1)
(%o21)              1 + ----- - -------- + -------- + . . .
                          2        8          16

習題

1. 試求多項式函數 f(x) = 3x³ - 4x² -x +1 以 1/2 為參考點的泰勒形式。
2. 正弦函數的指令是 sin(x)。試求正弦函數以 0 為參考點的七次泰勒多項式。
3. 絕對值函數 |x| 的指令是 abs(x)。試試看， 若要求絕對值函數以 0 為參考點的三次泰勒多項式，產生什麼結果？