BCC-16 (in Chinese) 計算機概論十六講 C -- math library

C 教材：數學函式庫

C 提供一些基本的數學函式，像是 sin()、sqrt() 等等。現在我們介紹，這些函式要怎麼用。

首先，這些函式都需要先說另一個檔頭指令：

#include <math.h>

然後就可以在我們自己寫的函式中呼叫這些數學函式。可是，這些數學函式的實際內容，卻不在標準外部函式群中，所以 C 不會自動找到它們。因此，在編譯的時候，要加一個奇怪的參數 -lm (是 dash ell m，不是 minus one m)。詳細的原因，我們暫不說明。以下我們簡單地示範，呼叫 pow() 來計算 2^-5。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
/* 示範數學函式的使用 (test-pow.c) */
main() {
    printf("%f\n", pow(2, -5));
}

然後您可以說

shell% gcc test-math.c -lm
shell% a.out
0.031250

因為 %f 格式內定輸出 6 為小數，所以會看到答案的尾巴多一個 0。

以下我們介紹數學函式的用法。

sin(x) sin x，x 以弧度解釋
cos(x) cos x，x 以弧度解釋
tan(x) tan x，x 以弧度解釋
asin(x) sin^-1 x，定義域是 [-1, 1]、值域是 [-pi/2, pi/2]
acos(x) cos^-1 x，定義域是 [-1, 1]、值域是 [0, pi]
atan(x) tan^-1 x，值域是 [-pi/2, pi/2]
atan2(y,x) tan^-1 y/x，值域是 [-pi, pi]
sinh(x) sinh x
cosh(x) cosh x
tanh(x) tanh x
exp(x) e^x
log(x) ln x，x>0
log10(x) log₁₀ x，x>0
pow(x,y) x^y，若 x=0、 y 必須 >0，若 x<0、y 必須是整數
sqrt(x) 根號 x，x>=0
ceil(x) x 的最小整數上界
floor(x) x 的最大整數下界
fabs(x) |x|
ldexp(x,n) 2ⁿx
fmod(x,y) x/y 得整數商的餘數
以下是一些附帶說明。

以上所有函式的參數值之資料型態都是 double，如果輸入的參數不是 double，會先被轉換成 double 才傳入函式。
以上所有函式的函式值之資料型態都是 double，包括 ceil() 和 floor() 在內，例如 ceil(3.005) 得到 4.0。但是可以將它們的值定義給一個整數型態的變數，那麼答案就會是整數了。
```
#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
/* 示範數學函式的使用 (test-ceil.c) */
main() {
    int a, b;
    a = ceil(-3.78);
    b = floor(-3.78);
    printf("%d  %d\n", a, b);
}
```
注意，您不可以直接寫
```
    printf("%d  %d\n", ceil(-3.78), floor(-3.78));
```
printf() 不會自動做資料型態的轉換。它會拿去 ceil(-3.78) 之 double 型態的位元組，然後將它以 int 型態來解讀。
由前面兩項，可見在 C 中實在沒有必要用 float 資料型態來做數值計算。
C 沒有複數資料型態，當然這些函式都不能計算出複數答案。
整數的絕對值函式 abs() 是標準外部函式，不屬於數學函式。
整數的求餘運算，以 % 符號完成，所以沒有整數的 mod() 函式。例如 25%7 == 4。若 n 是 int 型態，則 n - n/7*7 == n % 7 而且
```
    if (n%2)
        printf("%d is an odd number.\n", n);
    else
        printf("%d is an even number.\n", n);
```
C 不會替您嚴格看守定義域或值域是否合理，使用者需自己負責。
注意 C 裡面的 ^ 符號不是做次方計算的意思，必須呼叫 pow() 來計算次方。
有些編譯器定義 pow(0,0) == 1.0 但這並非統一的標準。
C 沒有內建常數 pi 或 e 的值，理想的方法是以 4*atan(1) 代替 pi，以 exp(1) 代替 e。

習題

寫一個程式，利用牛頓法計算 cos x = e^x 的最大負根。所得的答案需使得 |cos x - e^x| < 10^-5。 (必需在 C 程式中完成，不可藉用其他軟體。)
費波那契數列的定義如下：F₀=1、F₁=1、當 n>=2 時 F_n = F_n-1 + F_n-2。寫一個程式，計算並輸出 F₄₀。
找出以下數列的一般項關係
```
    1   2   4   7  11  16  22 ...
```
寫一個程式，輸出以上數列的前 11 項，並輸出它們的連乘積。
寫一個程式，利用上黎曼和與下黎曼和 (upper and lower Riemann sum)，估計以下的定積分值，並確保該估計值與真值的誤差 (絕對值) 在 10^-5 以內 (必需在 C 程式中完成，不可藉用其他軟體。)
$\int_0^1 \sqrt{1+9x^4}\,dx$
我們知道以下級數等式。但是，此級數的收斂速度非常之慢。寫一個程式來測試，看看需要多少項，才能夠比祖沖之的密率 (355/113) 更為準確？ (必需在 C 程式中完成，不可藉用其他軟體。)
$\pi = 4\times\left( 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19 -$

單維彰 (2000/04/22) ---

`sin(x)`	sin x，x 以弧度解釋
`cos(x)`	cos x，x 以弧度解釋
`tan(x)`	tan x，x 以弧度解釋
`asin(x)`	sin^-1 x，定義域是 [-1, 1]、值域是 [-pi/2, pi/2]
`acos(x)`	cos^-1 x，定義域是 [-1, 1]、值域是 [0, pi]
`atan(x)`	tan^-1 x，值域是 [-pi/2, pi/2]
`atan2(y,x)`	tan^-1 y/x，值域是 [-pi, pi]
`sinh(x)`	sinh x
`cosh(x)`	cosh x
`tanh(x)`	tanh x
`exp(x)`	e^x
`log(x)`	ln x，x>0
`log10(x)`	log₁₀ x，x>0
`pow(x,y)`	x^y，若 x=0、 y 必須 >0，若 x<0、y 必須是整數
`sqrt(x)`	根號 x，x>=0
`ceil(x)`	x 的最小整數上界
`floor(x)`	x 的最大整數下界
`fabs(x)`	\|x\|
`ldexp(x,n)`	2ⁿx
`fmod(x,y)`	x/y 得整數商的餘數