數的觀念與符號、羅馬記數符號、對位觀念

數是抽象的觀念，許多中小學生並不清楚。 我們先不談負數、有理數、實數、複數，這些是人類創造出來的思想產品。 現在只看自然數。

看以下直線上做的藍點記號

光有記數符號還不夠，必須要有個系統， 能夠一一表明在觀念中存在的、一個接著一個的自然數。 若沒有符號系統，我們必需替每個數取一個名字、設計一個符號。 唯獨有了一套約定的系統，才能用少數幾個符號，表達任意多的數。

以羅馬的記數系統為例，以下是從一到二十的符號：

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX

XXXII LXIV CXXVIII CCLVI DXII MXXIV

對位記數的想法，就好比在桌上由右到左放一排碗，在碗裡放石子。 根據碗的位置，約定它們的高低順序。 約定從最低位的碗開始放石子。每當一個碗集滿 K 粒石子的時候， 就把它拿空，並且在高一位的碗中加一粒石子。 如此，每個碗裡面的一粒石子，都代表低一位碗中的 K 粒石子，最低位的除外。 如果有三個碗，而且 K>6，從高位到低位的碗中依序有三、六、五粒石子， 則它們代表了

由於每個碗中都只會有一到 K-1 粒石子， 所以只要創造 K-1 個數字符號就可以了。 按照碗的位置，給每一個碗填寫一個數字符號，就可以記錄它們所代表的數。 同樣數字出現在不同位置所代表的不同意義，由它所在的位置決定。 如果遇到空碗，古人就把那個位置空下來，形成一個空位。 零這個概念，或許古早就有了。 但是零的符號，得之確實不易。 印度和中國，分別在西元 600 和 1200 年左右， 才創造了零符號來代替空位。

中國在 2500 年前的春秋時代就發明了對位記數法。 當時約定 K 就是十，所以創造了從一到九的九個數字符號， 而數的位置名字就是「一而十，十而百，百而千，千而萬」。 對位記數法，是將來能夠發明加減乘除直式演算法的重要關鍵。 而直式演算法，降低了學習計算的門檻，提高了計算的效率。 使用埃及或羅馬的記數法，就很難發展出這樣有效率的演算法。

練習與評量

如果您選擇將這份擴編教材納入學習範圍，可以試試以下問題。

1. 按照以上所述之規則，猜想以下數值要怎麼用羅馬數字表示？
   1. 40 到 60。
   2. 99, 100, 101。
   3. 164, 232, 1384。
   4. 2000, 2048, 2100。
2. 您猜想 6543 要怎麼用羅馬數字表示？去尋找答案。
3. 為羅馬記數法設計一套九十九以內的加法計算法。 必需只用羅馬數字，不可換算到十進制數字來做計算。
4. 設計一套十進制數字與羅馬數字互相轉換的方法，只要考慮 2100 以下的數即可。